命題５
ある数がある数の約数であり、他の数が他の数の同じ約数であるならば、１つが１つの約数であると、和もまた和の同じ約数である。
数AをBCの約数、数AがBCの約数であるように他の数Dを他の数EFの同じ約数とする。
AがBCの約数であるようにAとDの和がまたBCとEFの和の同じ約数であることをいう。
AがBCの約数であり、DはまたEFの同じ約数であるから、それゆえに、BCのなかにAと等しい数があると同じようにEFのなかにDと等しい数がある。
BCをAと等しい数、つまりBGとGCに分け、そしてEFをDと等しい数、つまりEHとHFに分ける。それからBGとGCの量はEHとHFの量と等しい。
そして、BGはAと等しく、そしてEHはDと等しいから、それゆえにBGとEHの和もまたAとDの和と等しい。同じ理由でGCとHFの和もまたAとDの和と等しい。
それゆえにBCのなかにAと等しい数があると同じようにBCとEFのなかにAとDと等しい数がある。それゆえに、BCがAの倍数であるようにBCとEFの和はAとDの和の同じ倍数である。それゆえに、AがBCの約数であるようにAとDの和はBCとEFの同じ倍数である。
それゆえに、ある数がある数の約数であり、他の数が他の数の同じ約数であるならば、１つが１つの約数であると、和もまた和の同じ約数である。
証明終了